PDF

Matematiikkaolympialaiset Koreassa

Koululaisten 41. kansainväliset matematiikkaolympialaiset, IMO 2000, pidettiin Korean Taejonissa, noin 200 km etelään Soulista, 13.-25. heinäkuuta 2000. Tavan mukaan kolmena ensimmäisenä päivänä paikalla oli vain tehtävät laativa joukkueiden johtajista koostuva kansainvälinen tuomaristo. Joukkueet saapuivat 16. heinäkuuta ja varsinaiset kilpailut pidettiin 19. ja 20. heinäkuuta. Kilpailupaikkana samoin kuin kilpailijoiden majapaikkana oli KAISTin, Korea Advanced Institute of Science and Technologyn kampus Taejonin liepeillä.

Joukkueiden ja kilpailijoiden määrä oli jälleen ennätyksellinen, vaikka IMO:n kasvuvauhti tuntuukin hidastuneen. Joukkueensa oli lähettänyt 82 maata (joukossa oli kyllä ei varsinaisesti itsenäisiä alueita kuten Hongkong, Macao ja Puerto Rico). Kilpailijoita oli 461. Kilpailun kaikin puolin onnistuneista järjestelyistä vastasi Korean Tiede- ja tekniikkaministeriön ja Korean Opetusministeriön tukemana Korean Matemaattinen yhdistys; järjestelytoimikunnan puheenjohtajana päävastuuta kantoi professori Sung Je Cho.

Tuomariston tehtävänlaadintakokoukset pidettiin Chonanissa, Soulin ja Taejonin puolivälissä. Kokouspaikkana oli Korean postilaitoksen moderni koulutuskeskus, joka sopi tarkoitukseen erinomaisesti. Tehtäväehdotuksia oli eri osallistujamaista saatu kaikkiaan 142, ja näistä 18-henkinen, puolalaisella Marcin Kuzmalla ja bulgarialaisella Svetoslav Savchevilla vahvistettu korealainen esivalintatoimikunta oli poiminut 27 ehdokasta tuomariston käsittelyyn. Perusteellisen pohdinnan jälkeen taejonilaisen professori Gyo Taek Jinin johtama tuomaristo päätyi valitsemaan sarjan, jonka ensimmäinen ja viimeinen tehtävä edustivat klassista tasogeometriaa, viides oli puhdaspiirteinen lukuteorian tehtävä, johon oli lähes perinteeksi muodostuneen tavan mukaan myös upotettu kilpailun vuosiluku, toinen etukäteen liiankin helpoksi arvioitu epäyhtälö, neljäs kombinatorista päättelyä edellyttänyt ja kolmas lähinnä matemaattiseksi analyysiksi luokiteltava. Valinnan jälkeen ilmeni, että tehtävistä peräti kolme (1, 5 ja 6) oli Venäjän ehdottamia, muut Yhdysvalloista (2), Valko-Venäjältä (3) ja Unkarista (4). Kirjoittaja ei muista, että näin suuri osuus tehtävistä olisi koskaan ollut yhdestä maasta lähtöisin.

Kilpailujen avajaiset pidettiin 18.7. Taejonissa. Avajaisia kunniotti läsnäolollaan ja puheellaan kilpailujen suojelija, Korean pääministeri Han Dong Lee, joka saapui avajaispaikalle helikopterillaan. Kilpailut pidettiin 19.7. ja 20.7., ja tulokset saatiin valmiiksi Kansallisessa Chugnam-yliopistossa pidettyihin päättäjäisiin 24.7. Kilpailijat tekivät retkiä Korean Folk Village -museoon Soulin lähelle ja Kyungjuun Korean itärannikolle. Alkuperäisestä ohjelmasta poiketen kilpailijat kävivät myös Soulissa Korean presidentin erikoisvieraina. KAISTin kampuksella pidetty loppuillallinen huipentui loistavaan ilotulitukseen. Tuomariston työ ei juuri antanut mahdollisuuksia turismiin.

Kilpailun tehtävät osoittautuivat vaikeiksi. Maksimipisteet 42 annettiin kuitenkin neljälle kilpailijalle, Kiinan Zhiwei Yunille, Valkovenäjän Alexandr Usnichille ja Venäjän Aleksei Poiarkoville ja Alexander Gaifoullinelle. Kultamitaliin oikeuttavan parhaan 1/12-osan muodostivat ainakin 30 pistettä saaneet, seuraava kuudennes eli hopemitalilla palkittavien osuus muodostui ainakin 21 pistettä saaneista, ja jo 11 pisteen suoritus merkitsi parempaan puolikkaaseen eli pronssimitalikategoriaan pääsyä. Viime vuonna vastaavat pisterajat olivat 28, 19 ja 12.

Pistekeskiarvoilla mitaten helpoin tehtävä oli numero 1 (keskiarvo 4,1), sitten 4 (3,2), 2 (2,8), 5 (1,6), 6 (1,0) ja 3 (0,7). Kilpailun menestyjien, kultamitalin saajien, vastaava järjestys on 1 (7, kaikilla siis täydet pisteet!), 5 (6,6), 2 (6,5), 4 (6,2), 6 (4,6) ja 3 (3,5). Luvuista voi päätellä valmennuksen merkitystä: helppo geometrian tehtävä 1 on harjoitelleelle rutiinia, samoin melko standardi lukuteoreettinen tehtävä ja epäyhtälö, mutta olennaisesti vain oivallusta vaatinut tehtävä 4 on menestyjien listalla sijoitukseltaan alempana kuin kaikilla osallistujilla.

Maiden paremmuutta ei matematiikkaolympialaisissa virallisesti mitata, epävirallisesti sitäkin innokkaammin. Parhaan yhteispistemäärän kokosi Kiina, seuraavina Venäjä, Yhdysvallat, Korea, Vietnam, Bulgaria, Valko-Venäjä, Taiwan, Unkari ja Iran.

Suomen joukkue oli valittu perinteisin kuvioin. Valinnasta ja valmennuksesta vastasi Suomen matemaattisen yhdistyksen valmennusjaoston työryhmä Matti Lehtinen, Kerkko Luosto, Jari Lappalainen ja Jouni Seppänen. Toimintaa Päivölässä koordinoivat lisäksi Kullervo Nieminen ja Merikki Lappi. MAOLin lukiokilpailun kaksi kierrosta ja 14. Pohjoismainen matematiikkakilpailu huhtikuussa yhdessä valmennusvastausten ja Päivölän Opiston matematiikkaviikonloppujen kanssa olivat pohjana, kun toukokuiselle valinta- ja valmennusleirille Päivölän Opistoon Valkeakoskelle koottiin kymmenkunta osallistujakandidaattia. Neljä valintakoetta muun informaation lisäksi johtivat lopulta yksiselitteiseen valintaan: Suomea edustivat Anne-Maria Ernvall Turusta, Mikko Harju Kirkkonummelta, Riikka Korte Helsingistä, Teemu Murtola Joensuusta (Päivölästä), Jarkko Pyy Halikosta ja Johanna Tikanoja Pyhäjärveltä (Päivölästä). Joukkueen johtajana ja samalla kansainvälisen tuomariston jäsenenä toimi Matti Lehtinen, ja joukkueen varajohtajana oli Jari Lappalainen.

Joukkueen suoritus oli varsin tyydyttävä. Edellisen vuoden yksi hopeamitali vaihtui nyt kolmeksi pronssimitaliksi, jotka saivat Riikka Korte, Mikko Harju ja Anne-Maria Ernvall. Teemu Murtola palkittiin lisäksi kunniamaininnalla. Kyseessä oli ensimmäinen kerta Suomen matematiikkaolympialaisosallistumisen historiassa, kun tyttöoppilas sai mitalin. Joukkueen yhteispistemäärä 52 oikeutti sijaan 52. Todettakoon, että Ruotsin sijoitus oli 31., Norjan 56., Viron 57., Islannin 60. ja Tanskan 61.

Suomalaisten pahimmaksi kompastuskiveksi muodostui taas kerran geometria. Vaikeampi tehtävä 6 tuotti Suomelle 2 pistettä, helpompi ensimmäinen tehtävä 11. Eniten pisteitä Suomi sai kombinatorisesta tehtävästä 4. On entistä ilmeisempää, että geometrian kunnollisen koulupohjan puuttuessa ainoa tie matematiikkaolympialaisten tuloslistan alkupäähän voisi kulkea todella intensiivisen ja pitkäkestoisen geometrian tehovalmennuksen kautta. Myös lukuteorian rutiini tulisi luoda harjoituksella. Vain päättelyä edellyttävissä tehtävissä ero kärkeen ei ole dramaattinen.

Seuraavat matematiikkaolympialaiset pidetään Washingtonissa Yhdysvalloissa 1.-14. heinäkuuta 2001. Sen jälkeen matematiikkaolympialaiset järjestää ennakkotiedoista poiketen Iso-Britannia. Japani on vuorossa vuonna 2003 ja Kreikka vuonna 2004.

Matti Lehtinen


41. kansainväliset matematiikkaolympialaiset

Joukkueiden yhteispisteet

Sulkeissa oleva luku maan nimen jälkeen osoittaa, että joukkueessa oli vähemmän kuin 6 kilpailijaa.

1. Kiina 218
29. Bosnia 78
57. Norja 45
2. Venäjä 215
Thaimaa 78
58. Viro 42
3. Yhdysvallat 184
31. Ruotsi 77
59. Trinidad 40
4. Korea 172
32. Puola 75
60. Islanti 37
5. Bulgaria 169
Meksiko 75
61. Tanska 36
Vietnam 169
34. Kroatia 73
62. Uusi-Seelanti 34
7. Valko-Venäjä 165
Slovenia 73
Liettua 34
8. Taiwan 164
36. Georgia 72
64. Azerbaidzan 32
9. Unkari 156
37. Singapore 71
Kypros 32
10. Iran 155
38. Uzbekistan 70
Peru (4) 32
11. Israel 139
39. Itävalta 68
Malesia (3) 32
Romania 139
40. Sveitsi (4) 67
68. Espanja 29
13. Ukraina 135
Mongolia 67
69. Irlanti 28
14. Intia 132
42. Tsekinmaa 65
70. Uruguay (3) 23
15. Japani 125
43. Makedonia 63
Filippiinit (4) 23
16. Australia 122
44. Kolumbia 61
72. Sri Lanka (3) 21
17. Kanada 112
Kuuba 61
Portugali 21
18. Turkki 111
46. Hollanti 60
74. Equador 19
Slovakia 111
Latvia 60
75. Albania 17
20. Armenia 108
48. Ranska 58
76. Kirgisia (4) 16
Saksa 108
Brasilia 58
Macao 16
22. Iso-Britannia 96
50. Italia 57
78. Kuwait (4) 12
23. Jugoslavia 93
51. Indonesia 54
79. Guatemala 11
24. Kazakstan 91
52. Suomi 52
Venezuela (2) 11
25. Argentiina 88
53. Belgia 51
81. Brunei (2) 8
26. Moldova (5) 84
Luxemburg (4) 51
Puerto Rico 8
27. Etelä-Afrikka 81
55. Marokko 48
28. Hongkong 80
56. Kreikka 46


41. kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävät

1. Ympyrät $\Gamma_1$ ja $\Gamma_2$ leikkaavat toisensa pisteissä M ja N. Olkoon l se $\Gamma_1$:n ja $\Gamma_2$:n yhteinen tangentti, joka on lähempänä M:ää kuin N:ää. Suora l sivuaa $\Gamma_1$:tä pisteessä A ja $\Gamma_2$:ta pisteessä B. Pisteen M kautta kulkeva l:n suuntainen suora leikkaa ympyrän $\Gamma_1$ myös pisteessä C ja ympyrän $\Gamma_2$ myös pisteessä D. Suorat CA ja DB leikkaavat pisteessä E; suorat AN ja CDleikkaavat pisteessä P; suorat BN ja CDleikkaavat pisteessä Q. Osoita, että EP=EQ.

2. Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja ja olkoon abc=1. Todista, että

\begin{displaymath}\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\left(b-1+
\frac{1}{c}\right)\left(c-1+\frac{1}{a}\right)\le 1.
\end{displaymath}

3. Olkoon $n\ge 2$ positiivinen kokonaisluku. Vaakasuoralla suoralla on n kirppua, jotka eivät kaikki ole samassa pisteessä. Olkoon $\lambda$ positiivinen reaaliluku. Määritellään siirtymä seuraavasti: valitaan jotkin kaksi kirppua, jotka ovat pisteissä A ja B, A B:n vasemmalla puolella; annetaan A:ssa olevan kirpun hypätä siihen B:n oikealla puolella olevaan suoran pisteeseen C, jolle $BC/AB=\lambda$. Määritä kaikki sellaiset $\lambda$:n arvot, joilla kaikki kirput voivat siirtyä mistä hyvänsä alkuasemasta minkä hyvänsä pisteen Moikealle puolelle äärellisen monen siirtymän avulla.

4. Taikurilla on sata korttia, jotka on numeroitu 1:stä 100:aan. Taikuri sijoittaa kortit kolmeen rasiaan, punaiseen, valkoiseen ja siniseen, niin että joka rasiassa on ainakin yksi kortti. Eräs katsojista valitsee rasioista kaksi, ottaa kummastakin rasiasta yhden kortin ja kertoo valituissa korteissa olevien numeroiden summan. Kuultuaan summan taikuri ilmoittaa, mistä rasiasta ei ole otettu kortteja. Monellako tavalla kortit voidaan sijoittaa rasioihin niin, että kuvattu temppu aina onnistuu? (Kahta sijoittelua pidetään eri sijoitteluina, jos niissä ainakin yksi kortti on eri rasiassa.)

5. Selvitä, onko olemassa positiivista kokonaislukua n, jolle n on jaollinen tasan 2000:lla eri alkuluvulla ja 2n+1 on jaollinen n:llä.

6. Olkoot AH1, BH2 ja CH3 teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanat. Kolmion ABC sisään piirretty ympyrä sivuaa sivuja BC, CA ja ABpisteissä T1, T2 ja T3, tässä järjestyksessä. Olkoot suorat l1, l2 ja l3suorien H2H3, H3H1 ja H1H2 peilikuvat suorien T2T3, T3T1ja T1T2 yli suoritetuissa peilauksissa (tässä järjestyksessä). Todista, että l1, l2 ja l3 määrittävät kolmion, jonka kärjet ovat kolmion ABC sisään piirretyn ympyrän kehällä.



Matematiikkalehti Solmu
2000-11-14