- epäyhtälön johto käänteisellä induktiolla ja sen käyttö ääriarvotehtävissä

Irmeli Pietilä

1. Aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välinen epäyhtälö

Ensiksi todistetaan. että $\frac{ x_{1}+x_{2} }{2} \geq \sqrt{ x_{1}x_{2} }$ on totta, kun $x_{1},x_{2} > 0$ .

(1)	$\begin{displaymath} \left( \frac{ x_{1}+x_{2} } {2} \right)^2 \geq x_{1}x_{2}, \end{displaymath}$

operaatio on sallittu, koska molemmat puolet ovat positiivisia.

(2)	$\begin{displaymath} \frac{ {x_{1}}^2 +2x_{1}x_{2}+{x_{2}}^2 }{4} \geq x_{1}x_{2}, \end{displaymath}$

(3)	$\begin{displaymath} {x_{1}}^2+2x_{1}x_{2}+{x_{2}}^2 \geq 4x_{1}x_{2}, \end{displaymath}$

operaatio on sallittu, koska 4 on positiivinen.

(4)	$\begin{displaymath} {x_{1}}^2-2x_{1}x_{2}+{x_{2}}^2 \geq 0, \end{displaymath}$

(5)	$\begin{displaymath} {(x_{1}-x_{2})}^2 \geq 0. \end{displaymath}$

Edellisessä epäyhtälössä yhtäsuuruus toteutuu jos ja vain jos

.

Seuraavaksi todistetaan epäyhtälö yleisessä tapauksessa:

(6)	$\begin{displaymath} \frac{ x_{1} +x_{2}+...x_{n} }{n} \geq \sqrt[n]{ x_{1}x_{2}...x_{n} }, \qquad x_{1}, x_{2},...,x_{n} > 0. \end{displaymath}$

Askel 1 ()

Epäyhtälö todistettiin tapauksessa

. Seuraavaksi voidaan todistaa matemaattisella induktiolla epäyhtälö todeksi, kun $n={2}^k$ ja

(7)	$\begin{displaymath} \frac{ x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4} }{4} \geq \sqrt[4] { x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} }, \end{displaymath}$

(8)	$\begin{displaymath} \frac{ \frac{ x_{1} +x_{2} }{2} + \frac{ x_{3} +x_{4} }{2} }{2} \geq \sqrt[4] { x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} }. \end{displaymath}$

Geometristen keskiarvojen aritmeettinen keskiarvo!

(9)	$\begin{displaymath} \frac{ \frac{ x_{1} +x_{2} }{2} + \frac{ x_{3} +x_{4} }{2} }... ...2} } \sqrt { x_{3}x_{4} } } = \sqrt[4]{x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}. \end{displaymath}$

Yhtäsuuruus toteutuu, jos $x_{1}=x_{2}$ , $x_{3}=x_{4}$ .
Yhtäsuuruus toteutuu, jos $x_{1}x_{2}=x_{3}x_{4}$ .
Kummatkin ylläolevista ovat tosia, jos $x_{}1=x_{2}=x_{3}=x_{4}$ .

Askel 2

Käänteisellä induktiolla näytetään todeksi, että epäehtälö on voimassa tapauksessa , kun se on voimassa tapauksessa .

(10)	$\begin{displaymath} \frac{ x_{1} +x_{2}+x_{3} }{3} \geq \sqrt[3] { x_{1}x_{2}x_{3} }, \quad x_{1}, x_{2}, x_{3}>0. \end{displaymath}$

Valitaan

(11)	$\begin{displaymath} x_{4}=\frac{ x_{1} +x_{2}+x_{3} }{3}, \qquad \text{joten}\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=3\cdot x_{4}. \end{displaymath}$

(12)	$\begin{displaymath} \frac{ x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4} }{4}= \frac{ 3\cdot x_{4}+x_{4} }{4} \geq\sqrt[4] { x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} }, \end{displaymath}$

(13)	$\begin{displaymath} x_{4}\geq\sqrt[4] { x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} }, \end{displaymath}$

(14)	$\begin{displaymath} x_{4}^4\geq x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}, \end{displaymath}$

(15)	$\begin{displaymath} x_{4}^3\geq x_{1}x_{2}x_{3}, \end{displaymath}$

(16)	$\begin{displaymath} x_{4} \geq \sqrt[3]{ x_{1}x_{2}x_{3} }. \end{displaymath}$

Kuten muistamme, $x_{4}=\frac{ x_{1} +x_{2}+x_{3} }{3}$ , joten

(17)	$\begin{displaymath} \frac{ x_{1} +x_{2}+x_{3} }{3} \geq \sqrt[3]{ x_{1}x_{2}x_{3} } \end{displaymath}$

Yhtäsuuruus pätee, kun $x_{1}=x_{2}=x$ . Samalla tavalla voisimme todistaa epäyhtälön todeksi kaikilla :n arvoilla.

2. Maksimiarvo-ongelmat

Edellisen luvun epäyhtälöä voidaan käyttää maksimiarvotehtävissä, jos funktio voidaan kirjoittaa tekijöidensä tuloksi siten, että samojen tekijöiden summa on vakio.

Ongelma 1

Jana on jaettu kahteen osaan kuvan osoittamalla tavalla. Mikä on pinta-alan suurin arvo, jos se on määritelty maksimiarvo? Mikä on :n arvo siinä tapauksessa?

**Kuva 1:** ,
$\begin{Kuva}\begin{center} \epsfig{file=jana.eps, height=3cm} \end{center}\end{Kuva}$

$\begin{boxedminipage}[t]{6cm} Muista! \begin{displaymath} \frac{ x_{1}+x_{2}+x_{3} }{3}\geq \sqrt[3]{x_{1}x_{2}x_{3}} \end{displaymath}\end{boxedminipage}$

$\begin{displaymath} \begin{split} A(x)&=x\cdot x\cdot(10-x),\\ 2A(x)&=x\cdot x\... ...\ A(x) &\leq \frac{4000}{24}\approx 148.148\ldots. \end{split}\end{displaymath}$

Edellisessä epäyhtälössä yhtäsuuruus toteutuu, jos $x_{1}=x_{2}=x_{3}$ . Silloin

$\begin{displaymath} \begin{split} x&=20-2x,\\ x&=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}, \qquad y=3\frac{1}{3}. \end{split}\end{displaymath}$

$\begin{boxedminipage}[t]{6cm} Vastaus ongelmaan 1: \begin{displaymath} A(x)\leq\... ...frac{20}{3}=6\frac{2}{3},\ y=3\frac{1}{3}. \end{displaymath}\end{boxedminipage}$

Ongelma 2

Ympyrän sisälle on piirretty sylinteri. Mikä on sylinterin maksimitilavuus, kun ympyrän säde on ?

Sylinterin sädettä on merkitty :llä ja korkeutta :lla (kummatkin aidosti positiivisia ja pienempiä kuin ). Sylinterin tilavuus on siten

**Kuva 2:**
$\begin{Kuva}\begin{center} \epsfig{file=kuva1.eps, height=3cm} \end{center}\end{Kuva}$

$\begin{displaymath} \begin{split} V &=\pi r^2h,\\ r^2+\frac{h^2}{4}&=R^2. \quad... ...\cdot h, \quad \text{yhtälö voidaan jakaa}\ \pi>0. \end{split}\end{displaymath}$

Yhtälö on positiivinen ja siksi voidaan korottaa neliöön.

$\begin{displaymath} \begin{split} \left(\frac{V(h)}{\pi}\right)^2 &=\left(R^2-\f... ...}\right)^3\\ V(h)&\leq\frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}}. \end{split}\end{displaymath}$

Koska $\frac{4\pi R^3}{3}$ on pallon tilavuus

, on sylinterin maksimitilavuus $V(h)=\frac{V(R)}{\sqrt{3}}$ . Edellisessä epäyhtälössä yhtäsuuruus toteutuu, jos

$\begin{displaymath} \begin{split} x_{1}&=x_{2}=x_{3},\\ R^2-\frac{h^2}{4} &= \f... ...^2}{4\cdot 3}, \qquad r=\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3}}. \end{split}\end{displaymath}$

$\begin{boxedminipage}[t]{6cm} Vastaus Ongelmaan 2: \begin{displaymath} V(h)= \fr... ...}{\sqrt{3}},\ r=\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3}}. \end{displaymath}\end{boxedminipage}$

Ennen Hortobagyin kurssia en olisi ratkaissut tätä ongelmaa edellämainitulla tavalla, vaan olisin käyttänyt derivaattaa.

Ratkaisutapa 2

$\begin{displaymath} \begin{split} V(h)&=\pi \left(R^2-\frac{h^2}{4}\right)h,\\ ... ...ad \text{mutta vain}\ h>0\ \text{on hyväksyttävä.} \end{split}\end{displaymath}$

**Kuva 3:**
$\begin{Kuva}\begin{center} \epsfig{file=kaavio.eps, height=3cm} \end{center}\end{Kuva}$

$\begin{boxedminipage}[t]{6cm} Funktio saavuttaa maksimiarvonsa, kun $h=\frac{2R}... ...R}{\sqrt{3}}$\ ja tilavuus on $V(h)=\frac{V(R)}{\sqrt{3}}$. \end{boxedminipage}$

3. Minimiarvo-ongelmat

Ensimmäisen luvun epäyhtälöä voidaan käyttää minimiarvotehtäviin, jos funktio voidaan kirjoittaa termien summaksi ja samojen termien tulo on vakio.

Ongelma 3

Mikä on funktion $f(x)=\frac{4x^2+1}{x}$ , , minimiarvo?

$\begin{displaymath} \begin{split} f(x)&=4x+\frac{1}{x},\\ \frac{f(x)}{2}&=\frac... ...\geq \sqrt{4x\frac{1}{x}} \geq 2,\\ f(x) &\geq 4. \end{split}\end{displaymath}$

Yhtäsuuruus pätee, jos $4x=\frac{1}{x}$ ,

, $x=\frac{1}{2}$ .

$\begin{boxedminipage}[t]{6cm} Vastaus ongelmaan 3:\\ $f(x)$:n minimiarvo on $4$.\\ Silloin $x=\frac{1}{2}$. \end{boxedminipage}$

Ja derivaatalla:

**Kuva 4:**
$\begin{Kuva}\begin{center} \epsfig{file=kaavio2.eps, height=2cm} \end{center}\end{Kuva}$

$\begin{displaymath} \begin{split} f(x)&=4x+\frac{1}{x},\quad x>0,\\ f(x)'&=4-\f... ...silloin ainoastaan}\ x=\frac{1}{2}\ \text{kelpaa.} \end{split}\end{displaymath}$

Solmun etusivu
27.12.2001