--- Date: Tue, 17 Sep 2002 15:50:36 +0300 (EEST) Minua (ja varmaan monia muitakin matematiikan opettajia) askarruttanut aina säännöllisin väliajoin kysymys vinon ympyrälieriön vaipasta. Siis millainen on vinon ympyrälieriön vaippa aukileikattuna? Toivoisin tietysti kunnolla perusteltua vastausta! Eräs oppikirja tarjosi vastaukseksi jopa suunnikasta, toinen taas kuviota ABCD, jossa AB ja CD olivat yhtäpitkiä janoja ja BC ja DA yhteneviä käyriä (mutta mitähän käyriä - vastaus ja kunnon perustelu!). Kai vinon ympyrälieriön vaippa on sentään suoristuva? Heikki Höijer [email protected] --- Date: Wed, 18 Sep 2002 21:38:31 +0300 Vastaus edelliseen kysymykseen: Onhan se toki suoristuva. Oletetaan, että lieriön pohja on ympyrä x^2 + y^2 = 1 ja että lieriön akseli kulkee pisteen (0,b,c) kautta. Oletetaan vielä mukavuuden vuoksi, että b^2 + c^2 = 1. Lieriön vaipan paikkavektori saadaan lisäämällä origosta pohjan kehälle vievään vektoriin akselin suuntainen vektori. Lieriön pinnan pisteet ovat näin ollen muotoa (cos u, sin u + bt, ct). Kierretään avaruutta x-akselin ympäri niin, että uusi y-akseli eli y'-akseli yhtyy lieriön akseliin. Uudet koordinaatit ovat x' = x, y' = by + cz, z' = - cy + bz. Akselia vastaan kohtisuorassa tasossa y' = 0 on x' = cos u, z' = -c(sin u + bt) + bct = - c sin u. siis x'^2 + z'^2/c^2 = 1. Leikkauskuvio on siis ellipsi. Kun lieriö leikataan auki ja kierretään tasoon, niin tämä leikkaus aukeaa janaksi, jonka pituus on ellipsin kehän pituus. Tältä janalta siitä pisteestä, joka vastaa parametrin arvoa u mitattu kohtisuora etäisyys kohtisuora etäisyys pohjan (joka siis on tasossa z = 0) piirtämälle käyrälle on y':n arvo, kun z = 0. Se on by = b sin u (koska t = 0 tasossa z = 0). Merkittäkön sitä tässä r:llä. Toisaalta etäisyys pistettä (1, 0, 0) vastaavalta pisteeltä pistettä (x', 0, z') vastaavaan on sama kuin ellipsin kaaren pituus s pisteestä (1, 0, 0) pisteeseen (x', 0, y'). Käyrän pituuden kaavan mukaan se on lausekkeen (sin^2 v + c^2 cos^2 v)^(1/2)dv integraali 0:sta u:hun tai yksinkertaisten sievennysten jälkeen c kertaa lausekkeen (1 - (b/c)^2 sin^2 v)^(1/2)dv integraali 0:sta u:hun. Tämä sattuu olemaan sama kuin cE((b/c),u), missä E on tunnettu funktio, se ns. toisen lajin elliptisen integraalin Legendren normaalimuoto. Tämähän on ollut taulukoituna jo 1800-luvulta alkaen ja esim. Mathematica osaa piirtää sen. Mukavin tapa piirtää kuva tästä reunakäyrästä lienee ottaa koordinaateiksi r ja s ja piirtää käyrää s = cE(b/c, arcsin(r/b)). Tämä antaa tietysti vain neljänneksen koko käyrästä, mutta ilmeisen symmetrian perusteella sen voi täydentää. Matti Lehtinen --- Date: Wed, 18 Sep 2002 08:05:02 +0300 (EEST) Etsiskelen sopivaa www-linkkiä, jota voisi silloin tällöin hyödyntää peruskoulun 8. luokan syventävällä kurssilla. Yleensä olen ollut melko epäluuloinen sen suhteen, onko netin matikkatarjonnasta juurikaan hyötyä oikeassa matikan opisklussa. Tehtävät ovat säännönmukaisesti liian rutiiniomaisia. Väline on rajoittunut verrattuna joustavaan ja monipuoliseen lyijykynä-paperi-liitutaulu "käyttöliittymään". Mikään periaatteellinen tietokoneen vastustaja en kumminkaan ole - siksi etsiskelenkin - ja pidän mahdollisena, että jotain järkevää voi löytyä. Vesa Nuolioja [email protected] ---
Keskustelupalstan etusivu
Viimeksi muutettu: 19. syyskuuta 2002