---
Date: Thu, 31 Aug 2006 17:26:36 +0300
Luvut a ja b kuuluvat rationaalilukuihin. Otetaan a:nnes juuri
b:stä ja vastaus on pii. Kysyn onko olemassa tällaisia lukupareja,
ja jos ei niin miksi. Samalla kysyn onko kaikki irrationaaliluvut
mahdollista saada tällä tavalla.
Irrationaalista
---
Date: Thu, 14 Sep 2006 11:22:12 +0300
Vastaus edelliseen kysymykseen (onko pii = b^(1/a), a,b
rationaalisia) on ei. Seuraavassa selitystä:
Tarkastellaan yleisemmin lukua x = (p/q)^(a/b), missä kaikki
luvut ovat pos. kokonaislukuja; yo. kysymys on tämän
erikoistapaus. Tällöin x^b = (p/q)^a ja edelleen
q^a * x^b = p^a, eli q^a * x^b - p^a = 0.
Tämä tarkoittaa siis sitä, että x toteuttaa muotoa
m*x^p - n =0 olevan yhtälön; m,n,b positiivisia kok. lukuja.
Kaikilla reaaliluvuilla ei ole tällaista ominaisuutta. Niitä
reaalilukuja, jotka yleisemmin ovat jonkin Z-kertoimisen
polynomin nollakohtia, kutsutaan algebrallisiksi. Osoittautuu, että
algebrallisia lukuja on vain häviävän pieni osa reaaliluvuista, ja
esimerkiksi pii ei ole algebrallinen (todistus on hankala ja pitkähkö,
muttei kuitenkaan mikään aivan mahdoton).
Pekka Alestalo
[email protected]
---
Date: Sat, 23 Sep 2006 00:23:09 +0300
MATEMATIIKKA KOKEELLISENA OPPIAINEENA
Oppilaat harvoin tiedostavat, että heidän käyttämänsä kaavat, esim.
polynomit laskulakeineen, heijastavat matematiikan konkreettisen,
kokeellisesti tutkittavissa olevan perustan, lukujen maailman, lakeja.
Tilanne muistuttaa fysiikasta tuttua kaavojen antamista oppilaiden
pyöriteltäväksi ilman niiden pätevyyden minkäänasteista kokeellista
todentamista. Fysiikassa tällainen ymmärretään haitalliseksi ja hylätään
("Matemaattinen luonnonlakinäkökulma yläkoulun fysiikassa", Dimensio
2/2005). Niinpä herää kysymys, miksei matematiikassakin voitaisi kaavoja
systemaattisesti todentaa konkreettisten lukujen laskutoimitusten avulla.
Esimerkiksi fysiikassa ja kemiassa niin tärkeät ja monelle tutkimusten
mukaan vielä lukiossakin vaikeat tekijäyhtälöt eli kaavalaskut voitaisiin
opettaa ensinnä lukujen tuttuja laskutoimituksia sisältävinä muunnoksina
ja vasta tämän "kokeellisen todennuksen" jälkeen - tai sen rinnalla -
siirtyä abstrakteihin kirjainesityksiin. Mottona voisi olla "mikä pätee
luvuilla, pätee kirjaimillakin". Sama koskee polynomilaskennan alkeita
kuten binomien kertolaskua. Tällaisia menetelmiä olen itse kokeillutkin
mielestäni hyvällä menestyksellä. Konkreettisen kautta abstraktiin
siirtymisen ideaa voisi soveltaa kaikilla opiskelun asteilla (vrt.
"Integraalilaskun periaatetta havainnollistava kuvio", MAA 3/1974).
Tämä voisi olla pieni askel matemaattisten aineiden kiinnostavuuden
kohottamispyrkimyksissä.
Pentti S. Varis
[email protected]
---
Keskustelupalstan etusivu
Viimeksi muutettu: 23. syyskuuta 2006